6. Две стороны треугольника равны 5 см и 21 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

1. Найдем третью сторону по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) = 5^2 + 21^2 - 2 \times 5 \times 21 \times \cos(60^\circ) = 25 + 441 - 2 \times 5 \times 21 \times \frac{1}{2} = 466 - 105 = 361$$. Следовательно, $$c = \sqrt{361} = 19$$ см.
2. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: $$S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma) = \frac{1}{2} \times 5 \times 21 \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 105 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{105\sqrt{3}}{4}$$ см².