6 *. Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечетных...

Задание: Доказать, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.

Решение:

1. Представим нечетные числа:

Любое нечетное число можно представить в виде 2n + 1, где n — целое число.

Два последовательных нечетных числа будут выглядеть так:

• Первое нечетное число: 2n + 1
• Второе последовательное нечетное число: 2n + 3

2. Найдем разность квадратов этих чисел:

Разность квадратов равна:

\[(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2\]

3. Раскроем скобки:

Используем формулу квадрата суммы:
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

И формулу квадрата разности:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

Раскрываем первый квадрат:
\[(2n + 3)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 3 + 3^2 = 4n^2 + 12n + 9\]

Раскрываем второй квадрат:
\[(2n + 1)^2 = (2n)^2 + 2 \cdot 2n \cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1\]

Теперь найдем разность:

\[(4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1)\]

4. Упростим выражение:

Вычитаем:

\[4n^2 + 12n + 9 - 4n^2 - 4n - 1\]

Группируем подобные члены:

\[(4n^2 - 4n^2) + (12n - 4n) + (9 - 1)\]

Получаем:

\[8n + 8\]

5. Выделим общий множитель:

Из выражения
\[8n + 8\]
можно вынести 8:

\[8(n + 1)\]

6. Вывод:

Полученное выражение 8(n + 1) всегда делится на 8, потому что 8 является множителем. Следовательно, разность квадратов двух последовательных нечетных чисел всегда делится на 8.

Что и требовалось доказать.