6. Диаметр АВ окружности с центром О пересекает хорду CD в точке М. Найдите хорду CD, если СМ= 8 см, АМ=6 см, ОВ= 11 см.

Задание 6. Хорда CD в окружности

Дано:

• Окружность с центром О.


• Диаметр АВ.


• Хорда CD пересекает диаметр в точке М.


• \( CM = 8 \) см.


• \( AM = 6 \) см.


• \( OB = 11 \) см.

Найти: Длину хорды CD.

Решение:

1. Найдем радиус окружности. Так как \( OB \) — это радиус, то \( R = OB = 11 \) см. Диаметр \( AB = 2 \cdot R = 2 \cdot 11 = 22 \) см.

2. Определим положение точки М относительно центра окружности О. Радиус \( OB = 11 \) см. Точка А находится на расстоянии \( OB - AB = 11 - 22 = -11 \) от О, что некорректно. Из условия \( AM = 6 \) см и \( AB = 22 \) см, следует, что \( MB = AB - AM = 22 - 6 = 16 \) см. То есть, точка М находится между центром О и точкой В.

3. Найдем расстояние от центра О до точки М:

\[ OM = OB - MB = 11 - 16 \] <- Здесь ошибка, MB должно быть меньше OB. Проверим условие. Если AB - диаметр, то A, O, M, B лежат на одной прямой. OB=11, значит R=11. AB=22. AM=6. MB = AB - AM = 22 - 6 = 16. Точка M находится между A и B. Центр O находится на середине AB. AO = OB = 11. OM = AO - AM = 11 - 6 = 5 см. Или OM = MB - OB = 16 - 11 = 5 см. Точка M находится на расстоянии 5 см от центра O.

Итак, \( OM = 5 \) см.

4. Используем свойство пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M. У нас есть отрезки хорды CD: \( CM = 8 \) см и \( MD \). Нам нужно найти \( MD \).

Произведение отрезков хорды CD: \( CM \cdot MD \).

Произведение отрезков диаметра AB: \( AM \cdot MB \).

\[ CM \cdot MD = AM \cdot MB \]

\[ 8 \cdot MD = 6 \cdot 16 \]

\[ 8 \cdot MD = 96 \]

\[ MD = \frac{96}{8} = 12 \] см.

5. Найдем длину хорды CD:

\[ CD = CM + MD \]

\[ CD = 8 + 12 = 20 \] см.

Ответ: Длина хорды CD равна 20 см.