6. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 9.

Решение:

• Пусть AM - биссектриса угла A, DM - биссектриса угла D. Точка M лежит на стороне BC.
• Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC.
• Рассмотрим биссектрису AM. Угол DAM = угол BAM (по определению биссектрисы).
• Угол DAM = угол AMB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AM).
• Следовательно, угол BAM = угол AMB. Это означает, что треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM.
• Аналогично, рассмотрим биссектрису DM. Угол ADM = угол CDM.
• Угол ADM = угол DMC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DM).
• Следовательно, угол CDM = угол DMC. Это означает, что треугольник CDM - равнобедренный, и CD = CM.
• Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и AD = BC.
• Точка M лежит на стороне BC, поэтому BC = BM + MC.
• Подставляем BM = AB и MC = CD: BC = AB + CD.
• Так как AB = CD, то BC = AB + AB = 2 * AB.
• Нам дано, что AB = 9.
• Тогда BC = 2 * 9 = 18.
• Периметр параллелограмма ABCD равен 2 * (AB + BC).
• Периметр = 2 * (9 + 18) = 2 * 27 = 54.

Ответ: 54