6. 3. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 15°. На катете АС отмечена точка D так, что ∠CBD = 15°, длина отрезка BD = 8см. Найдите длину катета АВ.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle C = 15^\circ \). Так как \( \angle ACB = 90^\circ \), то \( \angle ABC = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \).
2. На катете AC отмечена точка D. Дано, что \( \angle CBD = 15^\circ \).
3. Тогда \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ \).
4. Рассмотрим треугольник BCD. \( \angle BCD = 90^\circ \) (так как это прямоугольный треугольник ABC).
5. \( \angle BDC = 180^\circ - \angle BCD - \angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \).
6. Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем \( \angle ABD = 60^\circ \) и \( \angle BAD = \angle BAC = 15^\circ \).
7. \( \angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 15^\circ - 60^\circ = 105^\circ \).
8. Заметим, что \( \angle ADB + \angle BDC = 105^\circ + 75^\circ = 180^\circ \), что верно для смежных углов.
9. Применим теорему синусов к треугольнику ABD: \( \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} \)
10. \( \frac{AB}{\sin(105^\circ)} = \frac{8}{\sin(15^\circ)} \)
11. \( AB = \frac{8 \cdot \sin(105^\circ)}{\sin(15^\circ)} \)
12. \( \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
13. \( \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)
14. \( AB = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{8(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \)
15. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{6} + \sqrt{2} \):
16. \( AB = \frac{8(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{8(6 + 2\sqrt{12} + 2)}{6 - 2} = \frac{8(8 + 2 \cdot 2\sqrt{3})}{4} = \frac{8(8 + 4\sqrt{3})}{4} = 2(8 + 4\sqrt{3}) = 16 + 8\sqrt{3} \)

Ответ: 16 + 8√3 см.