6. (1 балл) Найдите значение выражения: \( \log_{18} 32 - \log_{18} 81 - 5 \cdot \log_{18} 3 \)

Решение:

1. Используем свойства логарифмов: \( \log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c} \) и \( k \log_b a = \log_b a^k \).


2. Применим первое свойство: \( \log_{18} 32 - \log_{18} 81 = \log_{18} \frac{32}{81} \).


3. Применим второе свойство к третьему члену: \( 5 \log_{18} 3 = \log_{18} 3^5 = \log_{18} 243 \).


4. Теперь выражение выглядит так: \( \log_{18} \frac{32}{81} - \log_{18} 243 \).


5. Снова применим первое свойство: \( \log_{18} \frac{32/81}{243} = \log_{18} \frac{32}{81 \cdot 243} \).


6. Вычислим знаменатель: \( 81 \cdot 243 = 3^4 \cdot 3^5 = 3^9 \).


7. Знаменатель также можно представить как \( 81 \cdot 243 = 19683 \).


8. Выражение стало: \( \log_{18} \frac{32}{19683} \).


9. Перепишем логарифмируемое выражение, используя степени тройки: \( \frac{32}{3^9} \).


10. Есть вероятность, что в выражении была допущена опечатка, и оно должно упрощаться до целого числа. Например, если бы было \( \log_{18} \frac{3^5}{3^4} \) или подобное.


11. Если предположить, что имелось в виду \( \log_{3} 32 - \log_{3} 81 - 5 \log_{3} 3 \) (изменив основание логарифма для упрощения), то: \( \log_3 32 - \log_3 81 - \log_3 3^5 = \log_3 \frac{32}{81} - \log_3 243 = \log_3 \frac{32}{81 \cdot 243} = \log_3 \frac{32}{19683} \).


12. Если предположить, что исходное выражение было \( \log_{18} 32 - \log_{18} 81 - \log_{18} 3^5 \) и основание 18, то \( \log_{18} (32 / 81 / 243) \) не даёт простого результата.


13. Вернемся к исходному условию. Если предположить, что в логарифмах используется степень 18, например \( \log_{18} 18 \), то это 1.


14. Без коррекции задания, точное числовое значение вычислить затруднительно.

Ответ: Вычисление требует уточнения или исправления задания.