52. 27 Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f (x) = 4x + 1/x^2; A(-1:4)

Решение:

Сначала найдем первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 4x + \frac{1}{x^2} \).

Представим \( \frac{1}{x^2} \) как \( x^{-2} \).

1. Первообразная для \( 4x \):

Используя формулу \( ∫ x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), получаем \( 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \).

2. Первообразная для \( x^{-2} \):

Используя формулу, получаем \( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \).

3. Общая первообразная \( F(x) \) имеет вид:

\[ F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \]

Теперь используем условие, что график проходит через точку \( A(-1:4) \). Это означает, что при \( x = -1 \) значение функции \( F(x) = 4 \).

Подставим значения в уравнение первообразной:

\[ 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \]\[ 4 = 2(1) - (-1) + C \]\[ 4 = 2 + 1 + C \]\[ 4 = 3 + C \]

Найдем \( C \):

\[ C = 4 - 3 \]\[ C = 1 \]

Следовательно, искомая первообразная:

\[ F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \]

Ответ: \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \).