51. 26 Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 10x^9 + 6x^5 + 5x

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 10x^9 + 6x^5 + 5x \), проинтегрируем каждый член отдельно.

Общая формула для первообразной \( ∫ x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (где \( n \u2260 -1 \)).

1. Первообразная для \( 10x^9 \):

Используя формулу, получаем \( 10 \cdot \frac{x^{9+1}}{9+1} = 10 \cdot \frac{x^{10}}{10} = x^{10} \).

2. Первообразная для \( 6x^5 \):

Используя формулу, получаем \( 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} = 6 \cdot \frac{x^6}{6} = x^6 \).

3. Первообразная для \( 5x \):

Здесь \( x = x^1 \). Используя формулу, получаем \( 5 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2 \).

4. Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования \( C \).

Первообразная \( F(x) \) равна:

\[ F(x) = x^{10} + x^6 + \frac{5}{2}x^2 + C \]

Ответ: \( F(x) = x^{10} + x^6 + \frac{5}{2}x^2 + C \).