51. 26 Найдите первообразную в общем виде: f (x) = 10x + 6x5 + 5x

Решение:

Для нахождения первообразной функции \( F(x) \) нужно проинтегрировать функцию \( f(x) \) по \( x \).

\( F(x) = \int (10x^9 + 6x^5 + 5x) dx \)

Интеграл суммы равен сумме интегралов:

\( F(x) = \int 10x^9 dx + \int 6x^5 dx + \int 5x dx \)

Вынесем константы за знак интеграла:

\( F(x) = 10 \int x^9 dx + 6 \int x^5 dx + 5 \int x dx \)

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\( \int x^9 dx = \frac{x^{9+1}}{9+1} = \frac{x^{10}}{10} \)

\( \int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^{6}}{6} \)

\( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2} \)

Подставим полученные результаты:

\( F(x) = 10(\frac{x^{10}}{10}) + 6(\frac{x^{6}}{6}) + 5(\frac{x^{2}}{2}) + C \)

Упростим выражение:

\( F(x) = x^{10} + x^6 + \frac{5}{2}x^2 + C \)

Ответ: Первообразная в общем виде: \( F(x) = x^{10} + x^6 + \frac{5}{2}x^2 + C \).