49. 24 Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)=1-x / x²+8 отрицательно.

Решение:

Для того чтобы значение производной функции было отрицательным, необходимо найти производную функции \( f(x) = \frac{1-x}{x^2+8} \) и решить неравенство \( f'(x) < 0 \).

Найдем производную, используя правило дифференцирования частного \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):

Пусть \( u = 1-x \) и \( v = x^2+8 \).

Тогда \( u' = -1 \) и \( v' = 2x \).

\( f'(x) = \frac{(-1)(x^2+8) - (1-x)(2x)}{(x^2+8)^2} \)

\( f'(x) = \frac{-x^2-8 - (2x-2x^2)}{(x^2+8)^2} \)

\( f'(x) = \frac{-x^2-8 - 2x + 2x^2}{(x^2+8)^2} \)

\( f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} \)

Теперь решим неравенство \( f'(x) < 0 \):

\( \frac{x^2 - 2x - 8}{(x^2+8)^2} < 0 \)

Знаменатель \( (x^2+8)^2 \) всегда положителен, так как \( x^2+8 > 0 \) для любого \( x \) и в квадрате он также будет положителен.

Следовательно, знак неравенства зависит от знака числителя:

\( x^2 - 2x - 8 < 0 \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 2x - 8 = 0 \).

Используем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)

\( \sqrt{D} = 6 \)

Корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Парабола \( y = x^2 - 2x - 8 \) ветвями вверх, поэтому отрицательные значения она принимает между корнями.

\( -2 < x < 4 \)

Ответ: Значения производной функции отрицательны при \( x \) из интервала \( (-2; 4) \).