5. Вывод формулы расстояние от точки до плоскости

Вывод формулы расстояния от точки до плоскости

Пусть дана плоскость \( \Pi \) уравнением \( Ax + By + Cz + D = 0 \) и точка \( P_0(x_0, y_0, z_0) \) вне этой плоскости.

Чтобы найти расстояние от точки \( P_0 \) до плоскости \( \Pi \), можно использовать следующий метод:

1. Найдём нормальный вектор плоскости:
   Нормальный вектор \( \vec{n} \) к данной плоскости имеет координаты \( \vec{n} = (A, B, C) \).
2. Возьмём произвольную точку на плоскости:
   Пусть \( P_1(x_1, y_1, z_1) \) — любая точка, лежащая на плоскости \( \Pi \). Это значит, что её координаты удовлетворяют уравнению плоскости: \( Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0 \).
3. Рассмотрим вектор \( \vec{P_1P_0} \):
   Вектор, соединяющий точку \( P_1 \) на плоскости с заданной точкой \( P_0 \), имеет координаты: \( \vec{P_1P_0} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) \).
4. Проекция вектора на нормаль:
   Расстояние \( d \) от точки \( P_0 \) до плоскости \( \Pi \) равно модулю проекции вектора \( \vec{P_1P_0} \) на нормальный вектор \( \vec{n} \).
   Формула проекции вектора \( \vec{a} \) на вектор \( \vec{b} \) равна \( \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \).
   Тогда расстояние \( d \) будет:
   \[ d = |\text{пр}_{\vec{n}} \vec{P_1P_0}| = \frac{|\vec{P_1P_0} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \]
5. Вычислим скалярное произведение \( \vec{P_1P_0} \cdot \vec{n} \):
   \( \vec{P_1P_0} \cdot \vec{n} = (x_0 - x_1)A + (y_0 - y_1)B + (z_0 - z_1)C \)
   \( = Ax_0 - Ax_1 + By_0 - By_1 + Cz_0 - Cz_1 \)
   \( = (Ax_0 + By_0 + Cz_0) - (Ax_1 + By_1 + Cz_1) \>
6. Используем тот факт, что \( P_1 \) лежит на плоскости:
   Так как \( Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0 \), то \( Ax_1 + By_1 + Cz_1 = -D \).
   Подставим это в выражение для скалярного произведения:
   \( \vec{P_1P_0} \cdot \vec{n} = (Ax_0 + By_0 + Cz_0) - (-D) = Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \>
7. Вычислим длину нормального вектора \( |\vec{n}| \):
   \( |\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \>
8. Подставим полученные значения в формулу расстояния:
   \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

Ответ: Формула расстояния от точки \( P_0(x_0, y_0, z_0) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) имеет вид: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \].