4. Скалярное произведение векторов, основные свойства, приложения.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов — это число, которое находится как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Для векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) скалярное произведение обозначается как \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).

Формула:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos(\alpha) \]

где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины векторов, а \( \alpha \) — угол между ними.

Основные свойства скалярного произведения:

• Коммутативность: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
• Дистрибутивность: \( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \)
• Ассоциативность с числом: \( (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) \)
• Скалярное произведение вектора на себя: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \)
• Геометрический смысл: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{пр}_{\vec{a}} \vec{b} = |\vec{b}| \cdot \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} \), где \( \text{пр} \) — проекция.

Приложения скалярного произведения:

• Нахождение угла между векторами:
  \( \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \>
• Определение перпендикулярности векторов: Если \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), то векторы перпендикулярны (при условии, что ни один из векторов не нулевой).
• Вычисление работы в физике: Работа \( A \) силы \( \vec{F} \) при перемещении \( \vec{s} \) равна \( A = \vec{F} \cdot \vec{s} \).
• Нахождение длины вектора (через его координаты).

Ответ: Скалярное произведение — это число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Основные свойства: коммутативность, дистрибутивность, ассоциативность с числом. Приложения: нахождение угла, проверка перпендикулярности, вычисление работы.