5) Вычислите: Z1 = (2 + i); Z2 = (-1 + 3i); a) Z1 + Z2; б) Z1 - Z2; в) Z1 * Z2; г) Z1 / Z2; д) Z3

Решение:

Даны комплексные числа \( Z_1 = 2 + i \) и \( Z_2 = -1 + 3i \).

а) \( Z_1 + Z_2 \)

\[ Z_1 + Z_2 = (2 + i) + (-1 + 3i) = (2 - 1) + (1 + 3)i = 1 + 4i \]

б) \( Z_1 - Z_2 \)

\[ Z_1 - Z_2 = (2 + i) - (-1 + 3i) = (2 - (-1)) + (1 - 3)i = (2 + 1) + (-2)i = 3 - 2i \]

в) \( Z_1 \cdot Z_2 \)

\[ Z_1 \cdot Z_2 = (2 + i)(-1 + 3i) = 2(-1) + 2(3i) + i(-1) + i(3i) = -2 + 6i - i + 3i^2 \]

Так как \( i^2 = -1 \), то:

\[ -2 + 6i - i + 3(-1) = -2 + 5i - 3 = -5 + 5i \]

г) \( Z_1 / Z_2 \)

\[ \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{2 + i}{-1 + 3i} \]

Чтобы разделить комплексные числа, умножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю (\( -1 - 3i \)):

\[ \frac{2 + i}{-1 + 3i} \cdot \frac{-1 - 3i}{-1 - 3i} = \frac{(2)(-1) + (2)(-3i) + (i)(-1) + (i)(-3i)}{(-1)^2 + (3)^2} \]

Числитель:

\[ -2 - 6i - i - 3i^2 = -2 - 7i - 3(-1) = -2 - 7i + 3 = 1 - 7i \]

Знаменатель:

\[ 1 + 9 = 10 \]

Таким образом:

\[ \frac{1 - 7i}{10} = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i \]

д) \( Z_1^3 \)

Сначала найдём \( Z_1^2 \):

\[ Z_1^2 = (2 + i)^2 = 2^2 + 2(2)(i) + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i \]

Теперь умножим \( Z_1^2 \) на \( Z_1 \):

\[ Z_1^3 = Z_1^2 \cdot Z_1 = (3 + 4i)(2 + i) = 3(2) + 3(i) + 4i(2) + 4i(i) \]

= \( 6 + 3i + 8i + 4i^2 = 6 + 11i + 4(-1) = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i \)

Ответ:

а) \( Z_1 + Z_2 = 1 + 4i \)

б) \( Z_1 - Z_2 = 3 - 2i \)

в) \( Z_1 \cdot Z_2 = -5 + 5i \)

г) \( Z_1 / Z_2 = \frac{1}{10} - \frac{7}{10}i \)

д) \( Z_1^3 = 2 + 11i \)