4) Задача: Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 15 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения детали, используемой в колесной паре электропоезда.

Решение:

При вращении прямоугольной трапеции около меньшего основания образуется тело, состоящее из цилиндра и двух конусов.

1. Определим размеры:
• Меньшее основание трапеции = 12 см. Это будет высота цилиндра.
• Большее основание трапеции = 15 см.
• Высота трапеции = 4 см. Это будет радиус основания конусов и цилиндра.
• Разница оснований: \( 15 - 12 = 3 \) см. Эта разница приходится на основания двух конусов, т.е. \( 3 = r_1 + r_2 \), где \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы оснований конусов.
2. Рассчитаем образующую конуса.

В прямоугольной трапеции боковая сторона, не являющаяся высотой, при вращении вокруг меньшего основания образует образующую конуса. Найдём эту боковую сторону (образующую конуса) по теореме Пифагора, используя высоту трапеции (4 см) и разницу оснований (3 см):

\[ l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \]
3. Площадь поверхности тела вращения складывается из:
• Площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{цил.бок.} = 2\pi Rh \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота.
• Площади боковой поверхности двух конусов: \( S_{конус.бок.} = \pi Rl \) (сумма площадей боковых поверхностей двух конусов, у которых радиусы оснований одинаковы).
4. Подставим значения:
• Радиус основания \( R = 4 \) см.
• Высота цилиндра \( h = 12 \) см.
• Образующая конуса \( l = 5 \) см.
5. Вычислим площади:
• Площадь боковой поверхности цилиндра: \( S_{цил.бок.} = 2\pi \cdot 4 \cdot 12 = 96\pi \) см².
• Площадь боковой поверхности двух конусов: \( S_{конус.бок.} = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \) см².
• Общая площадь поверхности тела вращения: \( S_{общ.} = S_{цил.бок.} + S_{конус.бок.} = 96\pi + 20\pi = 116\pi \) см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна \( 116\pi \) см².