5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² + 2, y = 0, x = −2, x=1.

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 2 \), \( y = 0 \) (ось Ox), \( x = -2 \) и \( x = 1 \), нужно вычислить определенный интеграл от функции \( y = x^2 + 2 \) в пределах от -2 до 1.

Площадь \( S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2) dx \).

Сначала найдём первообразную для функции \( x^2 + 2 \). Первообразная \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x \).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = [\frac{x^3}{3} + 2x]_{-2}^{1} \).

\( S = (\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{(-2)^3}{3} + 2 \cdot (-2)) \).

\( S = (\frac{1}{3} + 2) - (\frac{-8}{3} - 4) \).

\( S = (\frac{1}{3} + \frac{6}{3}) - (\frac{-8}{3} - \frac{12}{3}) \).

\( S = \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) \).

\( S = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = \frac{27}{3} = 9 \).

Ответ: 9.