5. Вычислите интеграл \( \int_{-1}^{1} (5 - x - 3x^2) dx \)

Решение:

Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная функции \( f(x) \).

1. Найдем первообразную для функции \( f(x) = 5 - x - 3x^2 \):
2. \( F(x) = \int (5 - x - 3x^2) dx = 5x - \frac{x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} + C = 5x - \frac{x^2}{2} - x^3 + C \)
3. Определим значения первообразной в пределах интегрирования \( x = 1 \) и \( x = -1 \) (константу \( C \) можно опустить, так как она сократится).
4. \( F(1) = 5(1) - \frac{(1)^2}{2} - (1)^3 = 5 - \frac{1}{2} - 1 = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \)
5. \( F(-1) = 5(-1) - \frac{(-1)^2}{2} - (-1)^3 = -5 - \frac{1}{2} - (-1) = -5 - \frac{1}{2} + 1 = -4 - \frac{1}{2} = -\frac{8}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{9}{2} \)
6. Вычислим разность \( F(1) - F(-1) \):
7. \( \int_{-1}^{1} (5 - x - 3x^2) dx = F(1) - F(-1) = \frac{7}{2} - \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{7}{2} + \frac{9}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

Ответ: 8.