4. Исследовать функцию (x) = x³ - 12x на выпуклость и вогнутость и определить точки перегиба функции.

Решение:

Для исследования функции на выпуклость и вогнутость, а также для нахождения точек перегиба, найдем вторую производную.

1. Найдем первую производную \( f'(x) \):
2. \( f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12 \)
3. Найдем вторую производную \( f''(x) \):
4. \( f''(x) = (3x^2 - 12)' = 6x \)
5. Определим точки, в которых \( f''(x) = 0 \):
6. \( 6x = 0 \)
7. \( x = 0 \)
8. Эта точка делит числовую ось на два интервала: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \).
9. Исследуем знак второй производной на каждом интервале:
• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), \( f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \). Функция выпукла вверх (вогнута) на интервале \( (-\infty, 0) \).
• При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)), \( f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \). Функция выпукла вниз (выпукла) на интервале \( (0, +\infty) \).
10. Точка \( x = 0 \) является точкой перегиба, так как вторая производная меняет знак при переходе через неё.
11. Найдем значение функции в точке перегиба:
12. \( f(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 = 0 \)
13. Таким образом, точка перегиба имеет координаты \( (0, 0) \).

Ответ: Функция выпукла вверх на интервале \( (-\infty, 0) \) и выпукла вниз на интервале \( (0, +\infty) \). Точка перегиба: \( (0, 0) \).