5. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

1. Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает его по прямоугольнику. Диагональ этого прямоугольника равна 20 см.
2. Основание цилиндра — круг. Плоскость отсекает от окружности основания дугу в 120°. Хорда, стягивающая эту дугу, является стороной прямоугольника, лежащей в основании.
3. Пусть \( R \) — радиус основания цилиндра. Хорда \( a \) может быть найдена по формуле: \( a = 2R \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) \), где \( \theta = 120^{\circ} \) — центральный угол, соответствующий дуге.
4. \( a = 2R \cdot \sin(\frac{120^{\circ}}{2}) = 2R \cdot \sin(60^{\circ}) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} \).
5. Высота цилиндра \( H \) является другой стороной прямоугольника.
6. Диагональ прямоугольника \( d = 20 \text{ см} \). По теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + H^2 \).
7. \( 20^2 = (R\sqrt{3})^2 + H^2 \) \( 400 = 3R^2 + H^2 \).
8. Плоскость, отсекающая дугу 120°, удалена от оси цилиндра на 3 см. Расстояние от центра основания до хорды \( a \) равно \( h = R \cdot \cos(\frac{\theta}{2}) \).
9. \( h = R \cdot \cos(60^{\circ}) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2} \).
10. По условию, это расстояние равно 3 см, то есть \( h = 3 \text{ см} \).
11. \( \frac{R}{2} = 3 \) \( R = 6 \text{ см} \).
12. Теперь подставим значение \( R \) в уравнение для диагонали:
13. \( 400 = 3(6)^2 + H^2 \) \( 400 = 3(36) + H^2 \) \( 400 = 108 + H^2 \) \( H^2 = 400 - 108 = 292 \).
14. \( H = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73} \text{ см} \).
15. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = 2\pi RH \).
16. \( S_{\text{бок}} = 2\pi (6) (2\sqrt{73}) = 24\pi\sqrt{73} \text{ см}^2 \).

Ответ: \( 24\pi\sqrt{73} \text{ см}^2 \).