3. Высота конуса равна 9 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 90° и объем конуса.

Решение:

1. Объём конуса:

1. Угол при вершине осевого сечения \( 2\alpha = 120^{\circ} \), значит, угол между образующей и осью конуса \( \alpha = 60^{\circ} \).
2. Высота конуса \( H = 9 \text{ см} \).
3. Радиус основания конуса \( R = H \cdot \tan(\alpha) = 9 \cdot \tan(60^{\circ}) = 9 \cdot \sqrt{3} \text{ см} \).
4. Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).
5. \( V = \frac{1}{3}\pi (9\sqrt{3})^2 \cdot 9 = \frac{1}{3}\pi (81 \cdot 3) \cdot 9 = \frac{1}{3}\pi \cdot 243 \cdot 9 = \pi \cdot 81 \cdot 9 = 729\pi \text{ см}^3 \).

2. Площадь сечения:

1. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с углом при вершине 120°.
2. Образующая конуса \( L = \frac{H}{\cos(\alpha)} = \frac{9}{\cos(60^{\circ})} = \frac{9}{1/2} = 18 \text{ см} \).
3. Рассмотрим сечение, проходящее через две образующие, угол между которыми равен 90°. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник. Боковые стороны этого треугольника — две образующие конуса \( L = 18 \text{ см} \). Угол между ними \( \gamma = 90^{\circ} \).
4. Площадь такого треугольника равна \( S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} L^2 \sin(\gamma) \).
5. \( S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} (18)^2 \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 324 \cdot 1 = 162 \text{ см}^2 \).

Ответ: Объём конуса \( 729\pi \text{ см}^3 \), площадь сечения \( 162 \text{ см}^2 \).