5. В прямоугольном треугольнике NMK проведена высота MD из вершины прямого угла. Найдите градусную меру угла DKM, если угол NMD равен 34°

Дано:

\( \triangle NMK \), \( \angle N = 90^{\circ} \), \( MD \) — высота, \( \angle NMD = 34^{\circ} \).

Найти:

\( \angle DKM \)

Решение:

1. Высота \( MD \) делит прямоугольный \( \triangle NMK \) на два подобных прямоугольных треугольника: \( \triangle NMD \) и \( \triangle KMD \).
2. Рассмотрим \( \triangle NMD \). \( \angle N = 90^{\circ} \). Сумма острых углов в \( \triangle NMD \) равна 90°. \( \angle NDM = 90^{\circ} \).
3. \( \angle MND + \angle NMD = 90^{\circ} \).
4. \( \angle MND = 90^{\circ} - \angle NMD = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ} \).
5. Так как \( \triangle NMK \) — прямоугольный, \( \angle K = 90^{\circ} - \angle N = 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ} \).
6. Рассмотрим \( \triangle KMD \). \( \angle KDM = 90^{\circ} \). \( \angle DKM + \angle KMD = 90^{\circ} \).
7. \( \angle DKM = 90^{\circ} - \angle KMD \).
8. Поскольку \( \angle KMD = \angle N = 90^{\circ} \) (как соответствующие углы при параллельных \( NK \) и \( MD \), секущей \( MK \)), то \( \angle DKM = 90^{\circ} - 90^{\circ} \) — неверно.
9. Вернемся к \( \triangle NMK \): \( \angle K = 90^{\circ} - \angle N = 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ} \).
10. Рассмотрим \( \triangle KMD \). \( \angle KDM = 90^{\circ} \). \( \angle DKM + \angle KMD = 90^{\circ} \).
11. Угол \( \angle KMD \) равен углу \( \angle N \) как углы, дополняющие друг друга до 90° в подобных треугольниках \( \triangle NMD \) и \( \triangle KMD \). \( \angle N = 56^{\circ} \), \( \angle KMD = 90^{\circ} - 56^{\circ} = 34^{\circ} \).
12. \( \angle DKM = 90^{\circ} - \angle KMD = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ} \).

Ответ: \( 56^{\circ} \).