5. В прямоугольном треугольнике КMN с прямым углом М проведена высота МН. Найдите величину угла К, если МН = 8, a NM= 16.

Решение:

В прямоугольном треугольнике KMN (\( \angle M = 90^{\circ} \)) проведена высота MH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник HMN. \( \angle MHN = 90^{\circ} \).

В этом треугольнике нам известны катет MH = 8 и гипотенуза NM = 16.

Мы можем найти синус угла ∠N:

\( \sin(\angle N) = \frac{Противолежащий катет}{Гипотенуза} = \frac{MH}{NM} \)

\( \sin(\angle N) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)

Угол, синус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен 30°.

Значит, \( \angle N = 30^{\circ} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KMN. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

\( \angle K + \angle N = 90^{\circ} \)

\( \angle K + 30^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( \angle K = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

Ответ: ∠K = 60°.