5. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса А, которая пересекает сторону ВС в точке К. ВК:КС-2:3. Периметр параллелограмма равен 42 см. Найдите длины его сторон.

Решение:

1. Пусть AB = CD = x, BC = AD = y.

2. Периметр параллелограмма ABCD = 2(AB + BC) = 2(x + y) = 42 см. Отсюда x + y = 21 см.

3. AK - биссектриса угла A. По свойству биссектрисы угла параллелограмма, \( \angle BAK = \angle KAD = \angle AKB \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AK).

4. Так как \( \angle BAK = \angle AKB \), то треугольник ABK равнобедренный с основанием BK. Следовательно, AB = BK = x.

5. По условию, BK:KC = 2:3. Значит, \( BK = \frac{2}{5} BC \) и \( KC = \frac{3}{5} BC \).

6. Так как AB = BK, то \( x = \frac{2}{5} y \).

7. Подставим это выражение для x во второе уравнение: \( \frac{2}{5} y + y = 21 \).

\( \frac{7}{5} y = 21 \).

\( y = 21 \times \frac{5}{7} = 3 \times 5 = 15 \) см. (Длина стороны BC).

8. Найдем x: \( x = 21 - y = 21 - 15 = 6 \) см. (Длина стороны AB).

9. Проверка: AB = 6 см, BC = 15 см. Периметр = 2(6+15) = 2(21) = 42 см. BK = AB = 6 см. KC = BC - BK = 15 - 6 = 9 см. BK:KC = 6:9 = 2:3. Все верно.

Ответ: Длины сторон параллелограмма равны 6 см и 15 см.