3. Треугольник АСВ прямоугольный, CD высота. Найдите гипотенузу АВ, если угол СВА равен 30°, AD-4 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике CDB, \( \angle CDB = 90^{\circ} \), \( \angle CBA = 30^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

2. В прямоугольном треугольнике CDA, \( \angle CDA = 90^{\circ} \), \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \). (Угол ACB = 90°, \( \angle ACB = \angle BCD + \angle ACD = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} \).)

3. В прямоугольном треугольнике CDA, катет AD лежит против угла 30°. Следовательно, гипотенуза AC равна удвоенному катету AD: \( AC = 2 \times AD = 2 \times 4 = 8 \) см.

4. В прямоугольном треугольнике ACB, \( \angle CBA = 30^{\circ} \) и катет AC лежит против этого угла. Следовательно, гипотенуза AB равна удвоенному катету AC: \( AB = 2 \times AC = 2 \times 8 = 16 \) см.

Ответ: 16 см.