5. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой AC1 и плоскостью BCC1.

Решение:

1. Построение чертежа и определение элементов.

• Пусть ребро куба равно \( a \).
• Куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Рассмотрим плоскость BCC₁.
• Прямая AC₁ — это диагональ куба.
• Точка пересечения прямой AC₁ и плоскости BCC₁ — это точка C₁.

2. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

• Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
• Проекцией прямой AC₁ на плоскость BCC₁ является прямая BC₁ (так как C₁ лежит в плоскости BCC₁, а проекция точки A на плоскость BCC₁ — это точка B, потому что AB перпендикулярно плоскости BCC₁).
• Таким образом, искомый угол — это угол \( \angle AC_1B \).

3. Вычисление угла.

• Рассмотрим треугольник ABC₁.
• AB = \( a \) (ребро куба).
• BC₁ — диагональ грани BCC₁B₁. \( BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).
• AC₁ — диагональ куба. \( AC_1 = \sqrt{AB^2 + BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \).
• Рассмотрим треугольник ABC₁. Этот треугольник прямоугольный, так как AB перпендикулярно плоскости BCC₁, а значит, AB перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в частности, BC₁.
• Угол \( \angle AC_1B \) — это угол при вершине C₁.
• В прямоугольном треугольнике ABC₁:
• \( \tan(\angle AC_1B) = \frac{AB}{BC_1} \).
• \( \tan(\angle AC_1B) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
• \( \tan(\angle AC_1B) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
• \( \text{Угол} \angle AC_1B = \arctan(\frac{\sqrt{2}}{2}) \).

Ответ: \( \text{arctan}(\frac{\sqrt{2}}{2}) \).