2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Площадь ее поверхности равна 132. Найдите высоту призмы.

Решение:

1. Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

\( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).

1.1. Основание призмы — прямоугольный треугольник.

• Катеты: \( a = 3 \) и \( b = 4 \).
• Площадь одного основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \) (единиц площади).
• Площадь двух оснований: \( 2 S_{осн} = 2 \cdot 6 = 12 \) (единиц площади).

1.2. Площадь боковой поверхности.

• Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \).
• Найдём гипотенузу \( c \) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \). \( c = \sqrt{25} = 5 \).
• Периметр основания: \( P_{осн} = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 \) (единиц длины).
• Пусть высота призмы равна \( h \).
• Тогда площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 12h \).

1.3. Находим высоту призмы.

• Общая площадь поверхности дана: \( S_{полн} = 132 \).
• Подставляем значения в формулу: \( 2 S_{осн} + S_{бок} = S_{полн} \).
• \( 12 + 12h = 132 \).
• \( 12h = 132 - 12 \).
• \( 12h = 120 \).
• \( h = \frac{120}{12} = 10 \) (единиц длины).

Ответ: 10.