5. Тип 8 № 2162 На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и Д. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 32°.

Анализ задачи:

• Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Это значит, что AB = BC и углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
• Точка D находится на продолжении стороны AB, причем A находится между B и D.
• AD = AC.
• Известно: ∠ABC = 32°.
• Найти: ∠ADC.

Решение:

1. Найдем углы равнобедренного треугольника ABC:
   • Сумма углов треугольника равна 180°.
   • ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°
   • Так как ∠BAC = ∠BCA, обозначим их за 'x'.
   • x + x + 32° = 180°
   • 2x = 180° - 32°
   • 2x = 148°
   • x = 148° / 2 = 74°
   • Итак, ∠BAC = 74° и ∠BCA = 74°.
2. Рассмотрим треугольник ADC:
   • Из условия AD = AC, значит, треугольник ADC — равнобедренный.
   • Углы при основании AD и CD равны: ∠ADC = ∠ACD.
   • Угол ∠CAD — это развернутый угол, образованный прямой BD. Однако, точка A находится между B и D, поэтому ∠CAD является внешним углом к углу ∠BAC треугольника ABC.
   • Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов: ∠CAD = ∠ABC + ∠BCA = 32° + 74° = 106°.
   • *Альтернативно: ∠CAD = 180° - ∠BAC = 180° - 74° = 106°.*
3. Найдем угол ∠ADC в треугольнике ADC:
   • Сумма углов треугольника ADC равна 180°.
   • ∠ADC + ∠ACD + ∠CAD = 180°
   • Так как ∠ADC = ∠ACD, обозначим их за 'y'.
   • y + y + 106° = 180°
   • 2y = 180° - 106°
   • 2y = 74°
   • y = 74° / 2 = 37°

Финальный ответ:

Ответ: 37°