5. Тип 16 Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 10°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точки касания касательных, проведённых из точки Р, к окружности с центром О, — это А и В. По условию, \( \angle APB = 10^{\circ} \).

Рассмотрим четырёхугольник \( PAOB \). \( OA \perp PA \) и \( OB \perp PB \) как радиусы, проведённые в точки касания.

Следовательно, \( \angle PAO = \angle PBO = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \).

\[ \angle AOB + \angle PAO + \angle PBO + \angle APB = 360^{\circ} \]\[ \angle AOB + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 10^{\circ} = 360^{\circ} \]\[ \angle AOB + 190^{\circ} = 360^{\circ} \]\[ \angle AOB = 360^{\circ} - 190^{\circ} \]\[ \angle AOB = 170^{\circ} \].

Теперь рассмотрим \( \triangle AOB \). \( OA = OB \) как радиусы окружности, поэтому \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Углы при основании \( \triangle AOB \) равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов в \( \triangle AOB \) равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \]\[ 2 \angle OBA + 170^{\circ} = 180^{\circ} \]\[ 2 \angle OBA = 180^{\circ} - 170^{\circ} \]\[ 2 \angle OBA = 10^{\circ} \]\[ \angle OBA = \frac{10^{\circ}}{2} \]\[ \angle OBA = 5^{\circ} \].

Ответ: 5