5. Тип 11 № 7652 Сколько имеется кратчайших путей, проходящих по рёбрам куба, из одной его вершины в противоположную?

Привет! Давай разберёмся с кубом и кратчайшими путями.

Представь себе куб. У него есть вершины (уголки) и рёбра (линии, соединяющие вершины).

Что такое "кратчайший путь"?

На рёбрах куба кратчайший путь — это путь, который состоит из наименьшего возможного числа рёбер. Чтобы добраться из одной вершины в противоположную, нам нужно пройти через определённое количество рёбер.

Рассмотрим куб:

1. Начальная вершина.
2. Противоположная вершина.

Чтобы попасть из одной вершины куба в прямо противоположную ей (ту, которая находится дальше всего), нам нужно сделать ровно 3 шага по рёбрам. Попробуй проследить это на любом кубе: сначала шаг в сторону (вдоль одного ребра), потом шаг вперёд (вдоль второго ребра), и наконец, шаг вверх (вдоль третьего ребра). Любой другой путь будет длиннее.

Теперь посчитаем, сколько таких путей существует.

Пусть наша начальная вершина - это точка (0,0,0) в трёхмерной системе координат, а противоположная - (1,1,1). Мы можем двигаться только по рёбрам, то есть менять одно из координат на 1 за один шаг.

Нам нужно сделать 3 шага. На каждом шаге у нас есть выбор направления (вдоль оси X, Y или Z).

• Шаг 1: Мы можем пойти по одному из 3 рёбер, выходящих из нашей начальной вершины.
• Шаг 2: Из новой вершины у нас есть 3 ребра, но одно из них ведёт обратно к началу (и нам оно не нужно для кратчайшего пути), поэтому у нас остаётся 2 выбора для движения "вперёд" (то есть, в сторону противоположной вершины).
• Шаг 3: Из третьей вершины остаётся только 1 ребро, которое ведёт точно в противоположную вершину.

Итак, количество кратчайших путей равно произведению числа выборов на каждом шаге:

3 (выбора на 1-м шаге) * 2 (выбора на 2-м шаге) * 1 (выбор на 3-м шаге) = 6

Ответ: 6