5. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Формулировка: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два прямоугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle DEF \), где \( \angle C = \angle F = 90^{\circ} \).

Дано:

• \( AC = DF \) (катеты)
• \( BC = EF \) (катеты)

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle DEF \)

Доказательство:

Это следует из второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим углы:

• \( \angle C = \angle F = 90^{\circ} \) (по условию, прямоугольные треугольники).
• \( \angle A = \angle D \) (по условию, острые углы равны).

Угол \( \angle B \) и \( \angle E \) являются смежными с \( \angle ACB \) и \( \angle DFE \) соответственно. Так как \( \angle ACB = \angle DFE = 90^{\circ} \) и \( \angle A = \angle D \), то \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A \) и \( \angle E = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle D \). Следовательно, \( \angle B = \angle E \).

Таким образом, по второму признаку равенства треугольников, \( \triangle ABC = \triangle DEF \).