5. С помощью собирающей линзы получили действительное изображение предмета высотой Н = 15 см. Определите расстояние от линзы до изображения, если расстояние от предмета до линзы d = 20 см, а высота предмета h = 5,0 см.

Привет! Давай разберемся с этой оптической задачей.

Что нам известно?

• Тип линзы: собирающая.
• Высота изображения: H = 15 см.
• Расстояние от предмета до линзы: d = 20 см.
• Высота предмета: h = 5,0 см.

Что нужно найти?

Расстояние от линзы до изображения (обозначается буквой f).

Формулы, которые нам понадобятся

В оптике есть две основные формулы, которые связывают размеры и расстояния:

1. Формула тонкой линзы:

\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \]

где:

• d – расстояние от предмета до линзы.
• f – расстояние от изображения до линзы.
• F – фокусное расстояние линзы.

1. Формула линейного увеличения линзы (γ):

\[ \gamma = \frac{H}{h} = -\frac{f}{d} \]

где:

• H – высота изображения.
• h – высота предмета.
• f – расстояние от изображения до линзы.
• d – расстояние от предмета до линзы.

Знак минус перед f/d показывает, что изображение перевернутое (что характерно для действительных изображений, получаемых собирающей линзой).

Решение

1. Сначала найдем линейное увеличение линзы (γ), используя соотношение высот:

\[ \gamma = \frac{H}{h} = \frac{15 \text{ см}}{5,0 \text{ см}} = 3 \]

2. Теперь используем вторую часть формулы увеличения, чтобы найти расстояние от линзы до изображения f:

\[ \gamma = -\frac{f}{d} \]

Подставляем известные значения:

\[ 3 = -\frac{f}{20 \text{ см}} \]

3. Выразим f:

\[ f = -3 \times 20 \text{ см} \]

\[ f = -60 \text{ см} \]

Важный момент: Обычно расстояние от линзы до изображения (f) считают положительным, если изображение действительное, и отрицательным, если мнимое. Знак минус в формуле γ = -f/d уже учитывает, что действительное изображение перевернуто. Поэтому, когда мы получаем f = -60 см из соотношения 3 = -f/20, это означает, что действительное изображение находится на расстоянии 60 см от линзы.

Чтобы избежать путаницы, можно использовать абсолютные значения для расстояний и учитывать знак изображения отдельно. Линейное увеличение по модулю равно:

\[ |\gamma| = \frac{|H|}{|h|} = \frac{15}{5} = 3 \]

Или, если использовать формулу линейного увеличения для действительного изображения (которое перевернуто):

\[ |\gamma| = \frac{f}{d} \]

\[ 3 = \frac{f}{20 \text{ см}} \]

\[ f = 3 \times 20 \text{ см} = 60 \text{ см} \]

Ответ: Расстояние от линзы до изображения составляет 60 см.