5. Решите уравнение 3 sin²x - 4sin x cos x + 5 cos² x = 2.

Решение:

1. Перепишем правую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество: \( 2 = 2( \sin^2 x + \cos^2 x ) \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( 3\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x \)
3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: \( 3\sin^2 x - 2\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x - 2\cos^2 x = 0 \)
4. Приведем подобные члены: \( \sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 \)
5. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x ≠ 0 \) (если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), подставив в уравнение \( \sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0 \), получим \( 1 - 0 + 0 = 0 \), что неверно, следовательно \( \cos x ≠ 0 \)).
6. Уравнение примет вид: \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
7. Упростим, используя \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \( \tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0 \)
8. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \tan x \). Тогда уравнение примет вид: \( t^2 - 4t + 3 = 0 \).
9. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 \).
10. \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
11. \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \)
12. Вернемся к замене \( t = \tan x \):
• \( \tan x = 3 \)
• \( \tan x = 1 \)
13. Решим уравнения:
• \( \tan x = 3 \) имеет решение \( x = \arctan(3) + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).
• \( \tan x = 1 \) имеет решение \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).

Ответ: \( x = \arctan(3) + \pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n ∈ ℤ \).