5. Решите неравенство: lg(3x - 7) ≤ lg(x + 1)

Решение:

Для решения неравенства \( \lg(3x - 7) \le \lg(x + 1) \) необходимо:

1. Приравнять аргументы логарифмов, учитывая, что логарифмическая функция \( \lg(x) \) является возрастающей.
2. Учесть условия существования логарифмов: аргументы должны быть положительными.

1. Неравенство аргументов:

\[ 3x - 7 \le x + 1 \]

Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а числовые значения — в другую:

\[ 3x - x \le 1 + 7 \]

\[ 2x \le 8 \]

\[ x \le 4 \]

2. Условия существования логарифмов:

Условие 1: \( 3x - 7 > 0 \)

\[ 3x > 7 \]

\[ x > \frac{7}{3} \]

Условие 2: \( x + 1 > 0 \)

\[ x > -1 \]

3. Объединяем все условия:

Мы имеем три условия:

• \( x \le 4 \)
• \( x > \frac{7}{3} \)
• \( x > -1 \)

Наибольшее значение \( \frac{7}{3} \) (приблизительно 2.33).

Объединяя эти условия, получаем:

\[ \frac{7}{3} < x \le 4 \]

Ответ: \( x \in (\frac{7}{3}; 4] \).