3. Решите уравнение: 9^x - 6 * 3^x - 27 = 0;

Решение:

Уравнение имеет вид:

\[ 9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0 \]

Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \).

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3^x \). Тогда \( y > 0 \).

Получаем квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ y^2 - 6y - 27 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

\[ y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Так как \( y = 3^x \), то \( y \) должно быть больше нуля. Следовательно, \( y_2 = -3 \) не подходит.

Рассмотрим \( y_1 = 9 \):

\[ 3^x = 9 \]

Так как \( 9 = 3^2 \), то:

\[ 3^x = 3^2 \]

Отсюда следует:

\[ x = 2 \]

Ответ: x = 2.