5. Решите графически систему уравнений: a) { y = x² - 3, ly = 2x; б) {(x-5)² + (y-2)² = 16, ly = 2x.

Задание 5. Графическое решение систем уравнений

а) { y = x² - 3,
y = 2x;

Построим график параболы \( y = x^2 - 3 \) (вершина в (0, -3), пересекает ось X в \( ±√{3} \)) и прямой \( y = 2x \) (проходит через начало координат).

Приравняем уравнения:

\[ x^2 - 3 = 2x \]

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

\[ (x - 3)(x + 1) = 0 \]

\[ x_1 = 3, x_2 = -1 \]

Найдем \( y \):

При \( x = 3 \), \( y = 2 · 3 = 6 \).

При \( x = -1 \), \( y = 2 · (-1) = -2 \).

Ответ: система имеет два решения: (3, 6) и (-1, -2).

б) {(x-5)² + (y-2)² = 16,
y = 2x.

Первое уравнение — окружность с центром (5, 2) и радиусом 4. Из второго уравнения \( y = 2x \), подставим его в первое:

\[ (x - 5)^2 + (2x - 2)^2 = 16 \]

\[ x^2 - 10x + 25 + 4x^2 - 8x + 4 = 16 \]

\[ 5x^2 - 18x + 29 = 16 \]

\[ 5x^2 - 18x + 13 = 0 \]

Найдем дискриминант: \( D = (-18)^2 - 4 · 5 · 13 = 324 - 260 = 64 \).

Корни: \( x_1 = \frac{18 - √{64}}{2 · 5} = \frac{18 - 8}{10} = \frac{10}{10} = 1 \).

\( x_2 = \frac{18 + √{64}}{2 · 5} = \frac{18 + 8}{10} = \frac{26}{10} = 2.6 \).

Найдем \( y \):

При \( x = 1 \), \( y = 2 · 1 = 2 \).

При \( x = 2.6 \), \( y = 2 · 2.6 = 5.2 \).

Ответ: система имеет два решения: (1, 2) и (2.6, 5.2).