4. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько: a) { y = x² - 5, y = -x² - 3; b) { x² + y² = 4, y = x² - 4.

Задание 4. Системы уравнений (повторение)

а) { y = x² - 5,
y = -x² - 3;

Анализ:

Первая парабола \( y = x^2 - 5 \) имеет вершину в точке (0, -5) и ветви направлены вверх. Минимальное значение \( y \) равно -5.

Вторая парабола \( y = -x^2 - 3 \) имеет вершину в точке (0, -3) и ветви направлены вниз. Максимальное значение \( y \) равно -3.

Так как минимальное значение первой параболы (-5) ниже максимального значения второй параболы (-3), и они имеют разные направления ветвей, их графики не пересекаются.

Вывод: Система не имеет решений.

б) { x² + y² = 4,
y = x² - 4.

Анализ:

Первое уравнение — окружность с центром в (0,0) и радиусом 2.

Второе уравнение — парабола с вершиной в (0, -4) и ветвями, направленными вверх.

Подставим \( y = x^2 - 4 \) в первое уравнение:

\[ x^2 + (x^2 - 4)^2 = 4 \]

\[ x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = 4 \]

\[ x^4 - 7x^2 + 12 = 0 \]

Сделаем замену \( t = x^2 \) (\( t > 0 \)):

\[ t^2 - 7t + 12 = 0 \]

Корни \( t_1 = 3 \) и \( t_2 = 4 \).

Тогда \( x^2 = 3 ⇒ x = ±√{3} \), и \( x^2 = 4 ⇒ x = ± 2 \).

Для каждого \( x \) находим \( y \) из \( y = x^2 - 4 \):

• Если \( x = ±√{3} \), то \( y = 3 - 4 = -1 \).
• Если \( x = ± 2 \), то \( y = 4 - 4 = 0 \).

Вывод: Система имеет четыре решения.