5. Радиус цилиндра равен 4 см, а диагональ осевого сечения равна 10 см. Найти объём цилиндра.

Решение:

Пусть радиус цилиндра \(R = 4\) см. Диагональ осевого сечения \(D = 10\) см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра \(h\) и диаметру основания \(2R\).

Диагональ этого прямоугольника \(D\) связана со сторонами теоремой Пифагора:

\[ D^2 = (2R)^2 + h^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 10^2 = (2 \u0007 4)^2 + h^2 \]

\[ 100 = 8^2 + h^2 \]

\[ 100 = 64 + h^2 \]

\[ h^2 = 100 - 64 = 36 \]

\[ h = \sqrt{36} = 6 \) см.

Объём цилиндра \(V\) вычисляется по формуле:

\[ V = \pi R^2 h \]

\[ V = \pi \u0007 (4)^2 \u0007 6 \]

\[ V = \pi \u0007 16 \u0007 6 \]

\[ V = 96\(\pi\) \) см³.

Ответ: \( 96\pi \) см³.