1. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 см и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найти боковое ребро параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны основания параллелепипеда равны \(a = 3\) см и \(b = 5\) см. Угол между ними \( \alpha = 60^{\circ} \). Большая диагональ параллелепипеда \(d = 10\) см. Найдем боковое ребро \(h\).

Найдем квадрат диагонали основания \(d_{осн}^2\) по теореме косинусов:

\[ d_{осн}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^{\circ} - \alpha) \]

Так как угол между сторонами основания дан как 60°, и это не угол между сторонами, а угол между диагоналями, будем использовать другую формулу для диагонали основания.

Диагональ основания \(d_{осн}\) связана с боковым ребром \(h\) и большой диагональю \(d\) формулой:

\[ d^2 = d_{осн}^2 + h^2 \]

Для нахождения \(d_{осн}^2\) используем теорему косинусов для сторон основания:

\[ d_{осн1}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^{\circ}) = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 25 - 15 = 19 \]

\[ d_{осн2}^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2}) = 9 + 25 + 15 = 49 \]

Большая диагональ основания равна \( \sqrt{49} = 7 \) см.

Теперь найдем боковое ребро \(h\):

\[ d^2 = d_{осн2}^2 + h^2 \]

\[ 10^2 = 7^2 + h^2 \]

\[ 100 = 49 + h^2 \]

\[ h^2 = 100 - 49 = 51 \]

\[ h = \(\sqrt{51}\) \) см.

Ответ: \( \sqrt{51} \) см.