5. По наклонному желобу пустили снизу вверх шарик. На расстоянии s = 30 см от начала пути он побывал через t₁ = 1,0 с и t₂ = 2,0 с после начала движения. Определите ускорение а шарика, считая его постоянным.

Решение:

Шарик движется вверх с постоянным ускорением (направленным вниз, против движения), затем останавливается и начинает двигаться вниз. Расстояние \( s = 30 \text{ см} \) он прошёл в оба момента времени \( t_1 = 1,0 \text{ с} \) и \( t_2 = 2,0 \text{ с} \). Это означает, что шарик достиг точки \( s = 30 \text{ см} \) при движении вверх (это была его начальная скорость, которая уменьшалась), а затем, достигнув верхней точки, он вернулся к этой же точке \( s = 30 \text{ см} \) при движении вниз (где его скорость уже увеличивалась).

1. Путь, пройденный шариком, описывается формулой: \( s = v_0 t + \frac{a t^2}{2} \), где \( v_0 \) — начальная скорость, \( a \) — ускорение.
2. Подставим данные для \( t_1 = 1,0 \text{ с} \) и \( s = 30 \text{ см} \):
   \( 30 = v_0 \cdot 1 + \frac{a \cdot 1^2}{2} \)
   \( 30 = v_0 + \frac{a}{2} \) (Уравнение 1).
3. Подставим данные для \( t_2 = 2,0 \text{ с} \) и \( s = 30 \text{ см} \):
   \( 30 = v_0 \cdot 2 + \frac{a \cdot 2^2}{2} \)
   \( 30 = 2v_0 + \frac{4a}{2} \)
   \( 30 = 2v_0 + 2a \) (Уравнение 2).
4. Теперь решим систему из двух уравнений. Из Уравнения 1 выразим \( v_0 \):
   \( v_0 = 30 - \frac{a}{2} \).
5. Подставим это выражение для \( v_0 \) в Уравнение 2:
   \( 30 = 2 \left( 30 - \frac{a}{2} \right) + 2a \)
   \( 30 = 60 - 2 \cdot \frac{a}{2} + 2a \)
   \( 30 = 60 - a + 2a \)
   \( 30 = 60 + a \)
   \( a = 30 - 60 = -30 \text{ см/с}^2 \).
6. Знак минус означает, что ускорение направлено против начальной скорости, то есть вниз по желобу, что соответствует условию задачи.

Ответ: a = -30 см/с²