5. Отметьте на координатной плоскости точки А(4; -6); B(-1; 9); C(-3;-1) и D(3; 5). Проведите отрезки АВ и CD. Найдите координаты точки пересечения отрезков АВ и CD

Решение:

Для начала найдем уравнения прямых, проходящих через точки A и B, а также через точки C и D.

1. Уравнение прямой AB:

Через точки \( A(4; -6) \) и \( B(-1; 9) \).

Угловой коэффициент \( k_{AB} \) равен:

\[ k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - (-6)}{-1 - 4} = \frac{9 + 6}{-5} = \frac{15}{-5} = -3 \]

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_A = k_{AB}(x - x_A) \):

\[ y - (-6) = -3(x - 4) \]

\[ y + 6 = -3x + 12 \]

\[ y = -3x + 12 - 6 \]

\[ y = -3x + 6 \]

2. Уравнение прямой CD:

Через точки \( C(-3; -1) \) и \( D(3; 5) \).

Угловой коэффициент \( k_{CD} \) равен:

\[ k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{5 - (-1)}{3 - (-3)} = \frac{5 + 1}{3 + 3} = \frac{6}{6} = 1 \]

Уравнение прямой имеет вид \( y - y_C = k_{CD}(x - x_C) \):

\[ y - (-1) = 1(x - (-3)) \]

\[ y + 1 = x + 3 \]

\[ y = x + 3 - 1 \]

\[ y = x + 2 \]

3. Найдем точку пересечения прямых AB и CD:

Приравниваем уравнения прямых:

\[ -3x + 6 = x + 2 \]

Решаем уравнение:

\[ 6 - 2 = x + 3x \]

\[ 4 = 4x \]

\[ x = 1 \]

Теперь найдем \( y \), подставив \( x = 1 \) в любое из уравнений, например, \( y = x + 2 \):

\[ y = 1 + 2 \]

\[ y = 3 \]

Координаты точки пересечения прямых AB и CD равны (1; 3).

Ответ: Координаты точки пересечения отрезков AB и CD равны (1; 3).