5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Решение:

Нам нужно найти сумму натуральных чисел, которые кратны 4 и не превышают 150. Эти числа образуют арифметическую прогрессию:

4, 8, 12, ..., 148.

Первый член прогрессии \( a_1 = 4 \).

Последний член прогрессии \( a_n = 148 \).

Разность прогрессии \( d = 4 \).

Сначала найдём количество членов в этой прогрессии, используя формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \):

\[ 148 = 4 + (n-1)4 \]

\[ 148 - 4 = (n-1)4 \]

\[ 144 = (n-1)4 \]

\[ n-1 = \frac{144}{4} \]

\[ n-1 = 36 \]

\[ n = 37 \]

Теперь найдём сумму первых 37 членов этой прогрессии по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \):

\[ S_{37} = \frac{4 + 148}{2} \cdot 37 \]

\[ S_{37} = \frac{152}{2} \cdot 37 \]

\[ S_{37} = 76 \cdot 37 \]

\[ S_{37} = 2812 \]

Ответ: 2812