4. Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 2n + 1.

Решение:

Последовательность \( b_n = 2n + 1 \) является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя соседними членами постоянна: \( b_{n+1} - b_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = 2n + 2 + 1 - 2n - 1 = 2 \). Следовательно, \( d = 2 \).

Найдём первый член прогрессии:

\[ b_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \]

Теперь найдём сумму первых двадцати членов по формуле суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \).

В данном случае \( b_1 = 3 \), \( d = 2 \) и \( n = 20 \).

Подставляем значения в формулу:

\[ S_{20} = \frac{2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 2}{2} \cdot 20 \]

\[ S_{20} = \frac{6 + 19 \cdot 2}{2} \cdot 20 \]

\[ S_{20} = \frac{6 + 38}{2} \cdot 20 \]

\[ S_{20} = \frac{44}{2} \cdot 20 \]

\[ S_{20} = 22 \cdot 20 \]

\[ S_{20} = 440 \]

Ответ: 440