5. Найдите площадь ромба, вершины которого имеют координаты (1;2), (-4;4), (6;4).

Задание 5. Площадь ромба

Дано: Координаты вершин ромба: \( A=(1;2) \), \( B=(-4;4) \), \( C=(6;4) \).

Найти: Площадь ромба \( S \).

Решение:

1. В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
2. Найдем длины диагоналей. Диагональ \( d_1 \) соединяет точки \( A=(1;2) \) и \( C=(6;4) \). Так как \( y \)-координаты точек B и C равны (4), то диагональ, проходящая через них, параллельна оси X. Длина этой диагонали \( d_2 \) равна разности x-координат: \[ d_2 = |6 - (-4)| = |6 + 4| = 10 \].
3. Диагональ \( d_1 \) соединяет точки \( A=(1;2) \) и \( C=(6;4) \). Так как \( x \)-координаты точек B и C равны (4), то диагональ, проходящая через них, параллельна оси X. Координаты B и C: \( B=(-4;4) \) и \( C=(6;4) \). Длина диагонали \( d_2 = |6 - (-4)| = 10 \).
4. Диагональ \( d_1 \) соединяет точки \( A=(1;2) \) и \( D \) (четвертая вершина).
5. Однако, в условии задачи даны только три вершины. Предположим, что точки \( (-4;4) \) и \( (6;4) \) являются концами одной из диагоналей, а \( (1;2) \) - одна из вершин.
6. Если \( B=(-4;4) \) и \( C=(6;4) \), то середина диагонали \( BC \) имеет координату \( x = \frac{-4+6}{2} = 1 \) и \( y = \frac{4+4}{2} = 4 \).
7. Вершина \( A=(1;2) \) лежит на перпендикуляре к \( BC \) (так как \( x \)-координата середины \( BC \) равна \( 1 \), как и \( x \)-координата \( A \)).
8. Длина диагонали \( d_2 = |6 - (-4)| = 10 \).
9. Длина вертикального отрезка от \( A=(1;2) \) до середины \( BC \) (которая имеет \( y=4 \)) является половиной другой диагонали \( d_1 \): \( \frac{d_1}{2} = |4 - 2| = 2 \).
10. Значит, \( d_1 = 2 \cdot 2 = 4 \).
11. Площадь ромба вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \]
12. Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 \]

Ответ: Площадь ромба равна 20.