5. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если AB = 12 см, ∠A = 17°, ∠B = 54°.

Сначала найдём третий угол треугольника:

\(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-17^\circ-54^\circ=109^\circ\).

Обозначим: \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB=12\) см. По теореме синусов:

\(\frac{a}{\sin17^\circ}=\frac{b}{\sin54^\circ}=\frac{12}{\sin109^\circ}\).

Тогда

\(a=\frac{12\sin17^\circ}{\sin109^\circ}\approx\frac{12\cdot0.2924}{0.9455}\approx3.71\text{ см}\),

\(b=\frac{12\sin54^\circ}{\sin109^\circ}\approx\frac{12\cdot0.8090}{0.9455}\approx10.27\text{ см}\).

Ответ: \(\angle C=109^\circ\), \(BC\approx3.71\) см, \(AC\approx10.27\) см.