5. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на 2 2/7, на 2 2/5 и на 2 2/11 в результате будут получены натуральные числа.

Решение:

Чтобы при делении наименьшего натурального числа на заданные дроби получались натуральные числа, это число должно быть кратно числителям дробей, а делители (дроби) должны быть взаимно обратными для того, чтобы исходное число было кратно им. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

• \(2\frac{2}{7} = \frac{16}{7}\)
• \(2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}\)
• \(2\frac{2}{11} = \frac{24}{11}\)

Наименьшее натуральное число, которое делится на \(\frac{16}{7}\), \(\frac{12}{5}\) и \(\frac{24}{11}\), должно быть кратно числителям (16, 12, 24) и при умножении на обратные дроби (7/16, 5/12, 11/24) должно давать натуральные числа. Это означает, что искомое число должно быть кратно числителям \(16, 12, 24\) и делиться на знаменатели \(7, 5, 11\).

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) числителей: НОК(16, 12, 24).

• Разложим числа на простые множители:
• 16 = \(2^4\)
• 12 = \(2^2 \cdot 3\)
• 24 = \(2^3 \cdot 3\)
• НОК(16, 12, 24) = \(2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48\)

Знаменатели (7, 5, 11) являются простыми числами и взаимно просты друг с другом. Чтобы число было кратно дробям, оно должно быть кратно их числителям и делиться на их знаменатели. Таким образом, искомое число должно быть кратно 48 и делиться на 7, 5, 11. Следовательно, искомое число должно быть кратно НОК(48, 7, 5, 11). Поскольку 48, 7, 5, 11 взаимно просты, их НОК равно их произведению.

Искомое число = \(48 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 11 = 48 \cdot 385\)

\(48 \cdot 385 = 48 \cdot (300 + 80 + 5) = 14400 + 3840 + 240 = 18480\)

Проверим:

• \(18480 : \frac{16}{7} = 18480 \cdot \frac{7}{16} = 1155 \cdot 7 = 8085\) (натуральное число)
• \(18480 : \frac{12}{5} = 18480 \cdot \frac{5}{12} = 1540 \cdot 5 = 7700\) (натуральное число)
• \(18480 : \frac{24}{11} = 18480 \cdot \frac{11}{24} = 770 \cdot 11 = 8470\) (натуральное число)

Ответ: 18480.