5. Найдите косинус угла между векторами б=7m-n и с = m +3ñ, если тайи т==1.

Задание 5. Косинус угла между векторами

Даны векторы \( \vec{b} = 7\vec{m} - \vec{n} \) и \( \vec{c} = \vec{m} + 3\vec{n} \).

Также дано, что \( |\vec{m}| = 1 \), \( |\vec{n}| = 1 \) и \( \vec{m} \perp \vec{n} \) (векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) перпендикулярны).

Из условия \( \vec{m} \perp \vec{n} \) следует, что скалярное произведение \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \).

Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \):

\( \vec{b} \cdot \vec{c} = (7\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) \)

Раскроем скобки:

\( \vec{b} \cdot \vec{c} = 7\vec{m} \cdot \vec{m} + 7\vec{m} \cdot 3\vec{n} - \vec{n} \cdot \vec{m} - \vec{n} \cdot 3\vec{n} \)

\( \vec{b} \cdot \vec{c} = 7|\vec{m}|^2 + 21(\vec{m} \cdot \vec{n}) - (\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3|\vec{n}|^2 \)

Так как \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = 0 \), и \( |\vec{m}| = 1 \), \( |\vec{n}| = 1 \), подставим эти значения:

\( \vec{b} \cdot \vec{c} = 7(1)^2 + 21(0) - 0 - 3(1)^2 \)

\( \vec{b} \cdot \vec{c} = 7 - 3 = 4 \)

Теперь найдем модули векторов \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \).

Модуль \( \vec{b} \):

\( |\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (7\vec{m} - \vec{n}) \cdot (7\vec{m} - \vec{n}) = 49|\vec{m}|^2 - 14(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 \)

\( |\vec{b}|^2 = 49(1)^2 - 14(0) + (1)^2 = 49 + 1 = 50 \)

\( |\vec{b}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

Модуль \( \vec{c} \):

\( |\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2 \)

\( |\vec{c}|^2 = (1)^2 + 6(0) + 9(1)^2 = 1 + 9 = 10 \)

\( |\vec{c}| = \sqrt{10} \)

Теперь найдем косинус угла между \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) по формуле \( \cos(\alpha) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| \cdot |\vec{c}|} \).

\( \cos(\alpha) = \frac{4}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}} = \frac{4}{5 \sqrt{20}} = \frac{4}{5 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{4}{10\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}} \)

Рационализируем знаменатель:

\( \cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25} \)

Ответ: Косинус угла между векторами \( \vec{b} \) и \( \vec{c} \) равен \( \frac{2\sqrt{5}}{25} \).