1. Даны точки А (-3; 1), В (1; −2) и С (-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов ВА и ВС; 2) модули векторов ВА и ВС; 3) координаты вектора MP = 4BA - BC; 4) скалярное произведение векторов ВА и ВС; 5) косинус угла между векторами ВА И ВС.

Задание 1. Векторы по координатам точек

Даны точки: \( A(-3; 1) \), \( B(1; -2) \) и \( C(-1; 0) \).

1) Координаты векторов \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \)

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты начала.

Вектор \( \vec{BA} \):

\( \vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (-3 - 1; 1 - (-2)) = (-4; 3) \)

Вектор \( \vec{BC} \):

\( \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-1 - 1; 0 - (-2)) = (-2; 2) \)

2) Модули векторов \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \)

Модуль вектора \( \vec{v}(x; y) \) находится по формуле \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Модуль \( \vec{BA} \):

\( |\vec{BA}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

Модуль \( \vec{BC} \):

\( |\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

3) Координаты вектора \( \vec{MP} = 4\vec{BA} - \vec{BC} \)

Сначала умножим вектор \( \vec{BA} \) на 4:

\( 4\vec{BA} = 4(-4; 3) = (-16; 12) \)

Теперь вычтем \( \vec{BC} \) из \( 4\vec{BA} \):

\( \vec{MP} = (-16 - (-2); 12 - 2) = (-16 + 2; 10) = (-14; 10) \)

4) Скалярное произведение векторов \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \)

Скалярное произведение векторов \( \vec{a}(x_1; y_1) \) и \( \vec{b}(x_2; y_2) \) находится по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 \).

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-4) \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = 8 + 6 = 14 \)

5) Косинус угла между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \)

Косинус угла между двумя векторами находится по формуле \( \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \).

\( \cos(\alpha) = \frac{14}{5 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{14}{10\sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10} \)

Ответ:

1. \( \vec{BA} = (-4; 3) \), \( \vec{BC} = (-2; 2) \)
2. \( |\vec{BA}| = 5 \), \( |\vec{BC}| = 2\sqrt{2} \)
3. \( \vec{MP} = (-14; 10) \)
4. \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 14 \)
5. \( \cos(\alpha) = \frac{7\sqrt{2}}{10} \)