5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, ч произведение четвёртого и третьего из этих чисел на 42 больше произведения первого и второго.

Решение:

Пусть первые четыре последовательных натуральных числа будут \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \) и \( n+3 \), где \( n \) — натуральное число.

По условию задачи, произведение четвёртого и третьего чисел на 42 больше произведения первого и второго.

Произведение четвёртого и третьего чисел: \( (n+3)(n+2) \).

Произведение первого и второго чисел: \( n(n+1) \).

Составим уравнение:

\( (n+3)(n+2) = n(n+1) + 42 \)

Раскроем скобки:

\( n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + n + 42 \)

\( n^2 + 5n + 6 = n^2 + n + 42 \)

Перенесём все члены уравнения в левую часть:

\( n^2 + 5n + 6 - n^2 - n - 42 = 0 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( (n^2 - n^2) + (5n - n) + (6 - 42) = 0 \)

\( 4n - 36 = 0 \)

\( 4n = 36 \)

\( n = \frac{36}{4} \)

\( n = 9 \)

Найдём эти четыре последовательных натуральных числа:

Первое число: \( n = 9 \)

Второе число: \( n+1 = 9+1 = 10 \)

Третье число: \( n+2 = 9+2 = 11 \)

Четвёртое число: \( n+3 = 9+3 = 12 \)

Проверим условие:

Произведение третьего и четвёртого чисел: \( 11 \times 12 = 132 \).

Произведение первого и второго чисел: \( 9 \times 10 = 90 \).

Разница: \( 132 - 90 = 42 \). Условие выполняется.

Ответ: 9, 10, 11, 12.