5. На поверхности Земли давление атмосферы составляет 760 мм рт. ст. Какова глубина шахты, если давление там 800 мм рт. ст.?

Решение:

1. Разница давлений: \( \Delta P = 800 \text{ мм рт. ст.} - 760 \text{ мм рт. ст.} = 20 \text{ мм рт. ст.} \).
2. Переведем разницу давлений в Паскали: \( 1 \text{ мм рт. ст.} \approx 133.322 \text{ Па} \).
3. \( \Delta P = 20 \text{ мм рт. ст.} \cdot 133.322 \text{ Па/мм рт. ст.} \approx 2666.44 \text{ Па} \).
4. Глубина шахты \( h \) определяется формулой \( \Delta P = \rho \cdot g \cdot h \), где \( \rho \) - плотность воздуха (приблизительно \( 1.2 \text{ кг/м}^3 \)), \( g \) - ускорение свободного падения (приблизительно \( 9.8 \text{ м/с}^2 \)).
5. \( h = \frac{\Delta P}{\rho \cdot g} = \frac{2666.44 \text{ Па}}{1.2 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} \approx \frac{2666.44}{11.76} \text{ м} \approx 226.7 \text{ м} \).
6. Сравним полученное значение с вариантами ответов. Вариант 226.7 м ближе всего к 480 м, но это слишком большая погрешность. Проверим другой подход:
7. Давление столба воздуха: \( P = \rho g h \).
8. \( 20 \text{ мм рт. ст.} = \rho_{воздуха} x 9.8 x h \).
9. \( h = \frac{20 x 133.322}{1.2 x 9.8} = \frac{2666.44}{11.76} x 226.7 \text{ м} \).
10. Возможно, в задании предполагается более простая зависимость или используется другая плотность воздуха. Или же, вопрос может быть с подвохом, т.к. давление с глубиной обычно увеличивается.
11. Если рассматривать, что 760 мм рт. ст. — это давление на поверхности, а 800 мм рт. ст. — давление на дне шахты (то есть оно стало больше), то это соответствует увеличению глубины.
12. Разница в давлении составляет \( 20 \text{ мм рт. ст.} \).
13. Переведем \( 20 \text{ мм рт. ст.} \) в метры водяного столба. Плотность ртути в 13.6 раз больше плотности воды. \( 20 \text{ мм рт. ст.} \cdot 13.6 x \frac{\rho_{ртути}}{\rho_{воды}} x 20 \text{ мм рт. ст.} x 13.6 \u0078 \frac{13.6 \text{ г/см}^3}{1 \text{ г/см}^3} \).
14. Высота столба воды, соответствующая \( 20 \text{ мм рт. ст.} \): \( h_{воды} = h_{ртути} x \frac{\rho_{ртути}}{\rho_{воды}} = 0.020 \text{ м} x 13.6 = 0.272 \text{ м} \) воды.
15. Плотность воды \( \approx 1000 \text{ кг/м}^3 \). \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \).
16. \( \Delta P = \rho g h \) \( 20 \text{ мм рт. ст.} x 133.322 \text{ Па/мм рт. ст.} = 2666.44 \text{ Па} \).
17. \( h = \frac{\Delta P}{\rho_{воздуха} g} = \frac{2666.44 \text{ Па}}{1.2 \text{ кг/м}^3 x 9.8 \text{ м/с}^2} x 226.7 \text{ м} \).
18. Есть другой вариант расчета. Если принять, что 1 атмосфера (760 мм рт. ст.) = 10.3 м водяного столба.
19. Тогда \( 1 \text{ мм рт. ст.} = \frac{10.3}{760} \text{ м} \text{ воды} \).
20. Разница в давлении \( 20 \text{ мм рт. ст.} \).
21. \( 20 \text{ мм рт. ст.} = 20 x \frac{10.3}{760} \text{ м} \text{ воды} x 0.271 \text{ м} \text{ воды} \).
22. Плотность воздуха \( \approx 1.2 \text{ кг/м}^3 \).
23. \( h = \frac{P}{\rho g} = \frac{0.271 x 1000 x 9.8}{1.2 x 9.8} = \frac{2655.8}{11.76} x 225.8 \text{ м} \).
24. Смотрим на варианты: 1,5 км = 1500 м, 700 м, 480 м.
25. Возможно, в условии подразумевается, что плотность воздуха у поверхности и на глубине одинакова, и g тоже.
26. Атмосферное давление у поверхности: \( P_0 = \rho g h_0 \), где \( h_0 = 760 \text{ мм рт. ст.} \).
27. Давление на глубине: \( P_h = \rho g (h_0 + h) \), где \( h \) - глубина шахты.
28. \( 800 \text{ мм рт. ст.} = \rho g (h_0 + h) \).
29. \( \frac{P_h}{P_0} = \frac{\rho g (h_0 + h)}{\rho g h_0} = \frac{h_0 + h}{h_0} \).
30. \( \frac{800}{760} = \frac{760 + h}{760} \).
31. \( 1.0526 = 1 + \frac{h}{760} \).
32. \( \frac{h}{760} = 0.0526 \).
33. \( h = 0.0526 x 760 \text{ мм рт. ст.} \approx 40 \text{ мм рт. ст.} \).
34. Переведем \( 40 \text{ мм рт. ст.} \) в метры. \( 40 \text{ мм рт. ст.} x \frac{10.3}{760} \text{ м} \text{ воды} x 0.542 \text{ м} \text{ воды} \).
35. \( h = \frac{P}{\rho g} = \frac{0.542 x 1000 x 9.8}{1.2 x 9.8} = \frac{5311.6}{11.76} x 451.6 \text{ м} \).
36. Этот результат близок к 480 м.

Ответ: в) 480 м