5) К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите диаметр окружности, если АВ = 12 см, АО = 15 см. (Рис.5.)

Решение:

1. Касательная АВ перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания (точку В). Следовательно, \( \angle ABO = 90^{\circ} \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. По теореме Пифагора: \( AO^2 = AB^2 + BO^2 \).
3. Подставим известные значения: \( 15^2 = 12^2 + BO^2 \).
4. \( 225 = 144 + BO^2 \).
5. \( BO^2 = 225 - 144 = 81 \).
6. \( BO = \sqrt{81} = 9 \) см.
7. BO — это радиус окружности. Диаметр окружности равен двум радиусам: \( D = 2 \cdot BO = 2 \cdot 9 = 18 \) см.

Ответ: 18 см.