5. Из точки В окружности опущен перпендикуляр ВМ на её диаметр АС, АВ = 4 см. Найдите радиус окружности, если отрезок АМ на 4 см меньше отрезка СМ.

Задание 5. Окружность

Дано:

• Окружность с центром O и диаметром AC.
• Точка B на окружности.
• BM ⊥ AC, M - точка на AC.
• AB = 4 см.
• AM = CM - 4 см.

Найти: радиус окружности.

Решение:

1. Так как AC - диаметр, то \( \angle ABC = 90° \) (угол, опирающийся на диаметр).
2. BM - высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла.
3. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: \[ AB^2 = AM × AC \].
4. По условию, AM = CM - 4.
5. Также AC = AM + MC.
6. Пусть AM = x. Тогда CM = x + 4.
7. AC = x + (x + 4) = 2x + 4.
8. Подставим известные значения в формулу:
   • \( 4^2 = x × (2x + 4) \)
   • \( 16 = 2x^2 + 4x \)
   • \( 2x^2 + 4x - 16 = 0 \)
   • Разделим на 2: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
   • Решим квадратное уравнение (можно по теореме Виета или через дискриминант). По Виета: x1 + x2 = -2, x1 * x2 = -8. Корни: x1 = 2, x2 = -4.
   • Так как длина отрезка AM не может быть отрицательной, то AM = x = 2 см.
9. Теперь найдем длину диаметра AC:
10. AC = 2x + 4 = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8 см.
11. Радиус окружности равен половине диаметра: \( R = \frac{AC}{2} \)
12. \( R = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Ответ: 4 см.